Математические модели и методы интегрирования

Под квазиклассически сосредоточенными решениями уравнения Шредингера понимается класс асимптотических решений, которые получаются для линейного уравнения Шредингера методом комплексного ростка Маслова [1,2,3]. Такие решения локализованы в окрестности траектории в фазовом пространстве (точки в каждый фиксированный момент времени), определяемой решением системы Гамильтона (классических уравнений). Данный подход также обобщается на нелинейные уравнения [4].
В предлагаемом докладе рассматривается задача Коши, в которой решения уравнения Шредингера с нелокальной нелинейностью локализованы в окрестности эволюционирующей кривой. Дополнительно в оператор уравнения вводятся анти-эрмитовые члены, которые позволяют учитывать диссипативные эффекты. Решить такую задачу удается за счет перехода в пространство переменных большей размерности, где уже удается применить элементы метода комплексного ростка Маслова. Асимптотические решения исходной задачи являются проекцией решений в расширенном пространстве на исходное. Предложенный формализм становится пригодным для рассмотрения задачи формирования вихревой решетки в конденсированных средах с коллективными возбуждениями. Показано, что этот процесс имеет квазиклассическую стадию, которая интерпретируется как квазиустановившиеся вихревые состояния. Эволюция таких состояний во многом определяется медленной деформацией кривой квазиклассической локализации. Доклад основан на статье [5].

[1] V. P. Maslov, The Complex WKB Method for Nonlinear Equations (I. Linear Theory. Birkhauser Verlag, Basel, 1994)
[2] V. V. Belov, S. Y. Dobrokhotov, Semiclassical Maslov asymptotics with complex phases. I. General approach. Theor. Math. Phys. 92(2), 843–868 (1992)
[3] V. G. Bagrov, V. V. Belov, A. Y. Trifonov, Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics I. High-order corrections to multidimensional time-dependent equations of Schrodinger type. Ann. Phys. 246(2), 231–290 (1996)
[4] V. V. Belov, A. Y. Trifonov, A. V. Shapovalov, The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation. Int. J. Math. Math. Sci. 32(6), 325–370 (2002)
[5] Kulagin, A., Shapovalov, A. Semiclassical states localized on a one-dimensional manifold and governed by the nonlocal NLSE with an anti-Hermitian term. Eur. Phys. J. Plus 141, 14 (2026). https://doi.org/10.1140/epjp/s13360–025-07236-6

В работе рассматривается трехмерные стационарные уравнения для политропного газа. Для построения решений используется техника группового анализа дифференциальных уравнений. Найдены решения, зависящие от трех произвольных функций для газа Чаплыгина. В случае произвольного показателя адиабаты получены явные решения зависящие от нескольких констант.

Решения волнового уравнения, содержащие произвольные функции, привлекают внимание исследователей с 18 века по сей день. Будет рассказано о четырех таких решениях и о некоторых их приложениях.

В докладе обсуждается алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя, основанная на уравнениях вихревого потока, учитывающих продольное движение и вращение вихревых трубок. В случае плоских турбулентных течений эта модель позволяет рассчитать аналитически распределение средних скоростей в пограничных слоях при различных условиях. В частности, мы проверяем предложенную модель посредством сравнения с экспериментальными профилями, измеренными в ветровых туннелях, а также посредством аппроксимации экспериментальных профилей низкоуровневых ветровых струй, измеренных в атмосферном пограничном слое. Во всех рассмотренных случаях рассчитанные по модели профили демонстрируют хорошее соответствие экспериментальным данным.

Солитонный газ (солитонная турбулентность) является предметом интенсивных исследований из-за его большой важности для многих физических систем. Обычно этот термин используется для интегрируемых моделей, где солитоны взаимодействуют упруго. Однако солитонная турбулентность может быть также частью неинтегрируемой динамики, где могут существовать долгоживущие решения в виде почти солитонов.

В настоящем докладе представлены результаты по исследованию солитонной турбулентности в рамках уравнений типа Кортевега — де Вриза: как в интегрируемых моделях (классическое уравнение Кортевега — де Вриза, модифицированное уравнение Кортевега — де Вриза, уравнение Гарднера), так и в рамках неинтегрируемых на примере уравнения Шамеля, нелинейный член которого содержит модуль волновой функции. Некоторые важные статистические характеристики (функции распределения, моменты и т. д.) рассчитаны численно для однополярных и разнополярных солитонных газов. Динамика однополярных газов оказалось очень похожей в случае интегрируемых и неинтегрируемых моделей. Однако неупругое взаимодействие разнополярных солитонов приводит к передаче энергии от меньших солитонов к большим в рамках неинтегрируемых моделей. С увеличением числа разнополярных солитонов в волновой системе этот эффект передачи энергии от меньшего солитона к большему, а также возникновение дисперсионных волн при каждом взаимодействии солитонов приводит к существенному увеличению эксцесса (четвертого статистического момента), который в интегрированных системах оставался бы квази-стационарным. Демонстрируется возможность образования аномально больших импульсов в результате эволюции таких волновых полей.