Отчет ИВМ СО РАН за 1996 годПрограммы фундаментальных исследований СО РАН
Программа 1. Фундаментальные исследования в области математики и ее приложенийТема 5. Алгебро-логические исследования дискретных систем Этап 1996 года: Описание алгебраической структуры метода В-определяющих уравнений; получение новых решений уравнений Навье-Стокса и распространения волн. Анализ решений уравнений идеальной жидкости в лагранжевых координатах. Продолжениие характеризации класса T0-групп; изучение квазиравномерных произведений групп; получение новых характеризаций почти слойно конечных групп и групп конечного ранга. В дифференциальном кольце гладких функций введена новая скобка, порождаемая В-определяющими уравнениями для дифференциальных связей. Эта операция позволяет чисто алгебраически формулировать основные понятия группового анализа дифференциальных уравнений (обычно определяемые в геометрических терминах) и определить новые структуры, необходимые для метода В-определяющих уравнений. На этой основе предложена концепция B-определяющих уравнений. Новые уравнения представляют собой системы линейных уравнений и позволяют находить широкие классы дифференциальных связей. В качестве приложений рассмотрены уравнения Прандтля и Хохлова--Заболоцкой. С помощью B-определяющих уравнений удалось найти дифференциальные связи, совместные с исходными уравнениями и построить точные решения (Капцов О. В.). На основе групп Ли построены новые точные решения уравнений неоднородной жидкости в лагранжевых координатах, описывающие внутренние нелинейные волны. Проведен анализ частично-инвариантного решения уравнений Навье-Стокса, описывающего движение цилиндрического слоя (Андреев В. К., Родионов А. А.). Продолжалось изучение групп с различными условиями конечности, в частности, класса T0-групп. Завершено доказательство теоремы о T0-группе. Доказана почти нильпотентность группы, обладающей элементом простого порядка с конечным централизатором при некоторых дополнительных ограничениях, и в качестве следствия охарактеризованы конечные группы в классе всех групп. Охарактеризован класс периодических почти локально разрешимых групп с условием примарной минимальности в классах периодических и смешанных групп. В классе сопряженно бипримитивно конечных групп доказана структурная теорема о группах, удовлетворяющих условию минимальности для не почти слойно конечных подгрупп. В качестве следствия получена почти слойная конечность указанных групп без элементов порядка 3. Рассматривались группы, разложимые в обобщенно равномерное произведение своих силовских подгрупп, изучалось строение их подгрупп. :
Тема 6. «Вычислительные методы решения дифференциальных уравнений». Этап 1996 года: Получение и обоснование эффективной оценки полной ошибки А-устойчивых методов для систем обыкновенных дифференциальных уравнений; разработка и обоснование эффективных модификаций метода конечных элементов для сингулярно возмущенных краевых задач. Для краевых задач типа реакции-диффузии с малым параметром при старших производных применен предложенный ранее подход к построению специальных сеточных аппроксимаций на базе метода конечных элементов. Подход основан на использовании специфических квадратурных формул для аппроксимации интегралов в билинейной форме метода Галеркина и дает сходящиеся подгоночные схемы. Обоснована сходимость полученных схем для некоторых задач с экспоненциальным пограничным слоем и продемонстрирована их высокая вычислительная эффективность (Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров). Продолжено развитие теории каскадных итерационных алгоритмов многосеточного типа для решения больших систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при сеточной аппроксимации краевых задач теории упругости и спектральных задач математической физики. Скорость сходимости построенных методов не зависит от количества используемых сеток и числа неизвестных. Каскадные методы являются более простой модификацией классических многосеточных методов Р. П. Федоренко-Н. С. Бахвалова (Л. В. Гилева, В. В. Шайдуров). Получена и обоснована эффективная оценка полной ошибки А-устойчивых методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.:
Тема 7. «Статистические и численные методы решения некоторых задач стохастического и интервального анализа». Этап 1996 года: Разработка статистических методов решения обратных задач для обобщенных моделей случайно-множественного распространения. Исследование стохастических моделей динамики стоимостей ценных бумаг. Разработка численных методов решения одноэтапных интервальных минимаксных задач в прямой и обратной постановках. Разработаны статистические методы решения обратных задач для обобщенной модели случайно-мно»жест»вен»но»го распространения. Построены алгоритмы отыскания вероятностей распространения, основанные на методах наименьших квадратов и максимального правдоподобия и методе сет-средних. Показана возможность оценки вероятностей распространения на основе множественной информации о реальном распространении. Проанализировано влияние случайной геометрической формы развивающегося процесса на статистические отклонения в оценках вероятностей распространения.Показано, что этим эффектом можно объяснить результаты наблюдений во время пожаров. Исследованы стохастические модели динамики стоимости ценных бумаг. Разработаны методы оценки тренда и волатильности курса ценных бумаг на основе данных о текущих котировках. Разработаны численные методы решения одноэтапных интервальных минимаксных задач в прямой и обратной постановках. :
|
||||||||||||||||
| Webmaster |